Question

5．已知函数f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）．
（I）求函数y=f（x）的周期和单调递增区间；
（Ⅱ）画出y=f（x）在区间[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]上的图象，并求y=f（x）在[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{3}$]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （I）利用正弦函数的性质和周期公式即可得解．
（Ⅱ）用五点法做出函数y=f（x）在区间[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]上的图象．

解答 解：（I）∵f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）．
∴函数y=f（x）的周期T=$\frac{2π}{1}$=2π，
∴由2kπ$-\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{3}$≤2kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z，解得单调递增区间为：[2kπ$-\frac{5π}{6}$，2k$π+\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（Ⅱ）由-$\frac{5π}{6}$≤x≤$\frac{7π}{6}$，可得-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}$．
列表：

2x+$\frac{π}{3}$	-$\frac{π}{2}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$
x	-$\frac{5π}{6}$	-$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{7π}{6}$
f（x）	-1	0	1	0	-1

函数y=f（x）在区间[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]上的图象如下：
（10分）
∴由函数图象可得在[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{3}$]上，函数y=f（x）最大值为1，最小值为-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．（12分）

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换和化简求值，y=Asin（ωx+∅）的图象和性质，用五点法作y=Asin（ωx+∅）的图象，属于中档题．