Question

【题目】如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点是线段上任意一点.

（1）求证：；

（2）试确定点的位置，使与平面所成角的大小为30°.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）当时，与平面所成角的大小为

【解析】

（1）连结，通过证明平面，即可得.另外可以利用空间向量证明线线垂直；

（2）由⊥平面可得与平面所成角为，，在中可求出值，即可得到点的位置.另外还可以用空间向量法求线面角.

（1）证明：连结，因为四边形为正方形，

所以，，

又因为⊥平面，平面，

所以．由平面．

又因为平面，所以．

（2）解法一：设，因为⊥平面，

所以与平面所成角为

在中，由．

所以，当时，与平面所成角的大小为．

解法2：（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系．

，，，．

设,则

则，

因为，

所以;

（2）取平面的一个法向量为

因为，可知直线的一个方向向量为．

设与平面所成角为，由题意知．与所成的角为，

则，

因为，所以，，

解得，．

当时，与平面所成角的大小为．