Question

【题目】在等比数列{an}中，an>0 (n∈N )，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2.

(1) 求数列{an}的通项公式；

(2) 设，数列{bn}的前n项和为Sn，当最大时，求n的值.

Answer 1

【答案】(1) 25－n (2) 8或9

【解析】

（1）根据等比数列的性质可知a1a5=a32，a2a8=a52化简a1a5+2a3a5+a2a8=25得到a3+a5=5，又因为a3与a5的等比中项为2，联立求得a3与a5的值，求出公比和首项即可得到数列的通项公式；（2）把an代入到bn=中得到bn的通项公式，即可得到前n项和的通项sn；把sn代入得到，讨论求出各项和的最大值时n的取值．

解　(1)∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，

∴a＋2a3a5＋a＝25，

又an>0，∴a3＋a5＝5.

又a3与a5的等比中项为2，

∴a3a5＝4，而q∈(0,1)，

∴a3>a5，∴a3＝4，a5＝1.

∴q＝，a1＝16，∴an＝16×n－1＝25－n.

(2)bn＝log2an＝5－n，

∴bn＋1－bn＝－1，

∴{bn}是以b1＝4为首项，－1为公差的等差数列，

∴Sn＝，

∴＝，

∴当n≤8时， >0；

当n＝9时，＝0；

当n>9时， <0.

∴当n＝8或9时，＋＋＋…＋最大.