Question

【题目】已知函数

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)

【解析】

（1）先求导数，再讨论导函数零点，最后根据区间导函数符号确定单调性，

（2）结合函数单调性以及零点存在定理分类讨论零点个数，即得结果

解（1）

（ⅰ）时，当时，；当时，，

所以f(x)在单调递减，在单调递增；

（ⅱ）时

若，则，所以f(x)在单调递增；

若，则，故当时，， ，；所以f(x)在单调递增，在单调递减；

若，则，故当，， ，；所以f(x)在单调递增，在单调递减；

综上：时，f(x)在单调递减，在单调递增；

时，f(x)在单调递增；

时，f(x)在单调递增，在单调递减；

时，f(x)在单调递增，在单调递减；

（2）（ⅰ）当a>0,则由（1）知f(x)在单调递减，在单调递增，

又，，取b满足，且，

则，所以f(x)有两个零点

（ⅱ）当a=0,则，所以f(x)只有一个零点

（ⅲ）当a<0,若,则由（1）知，f(x)在单调递增．又当时，，故f(x)不存在两个零点

，则由（1）知，f(x)在单调递减，在单调递增，又当，f(x)<0,故f(x)不存在两个零点

综上，a的取值范围为.