Question

观察不等式sin²α+cos²（α+30°）+sinαcosα（α+30°）=

3

4

；
sin²α+cos²（α+45°）+

2

sinαcosα（α+45°）=

1

2

；
sin²α+cos²（α+60°）+

3

sinαcosα（α+60°）=

1

4

；
sin²α+cos²（α+90°）+2sinαcosα（α+90°）=0．
可猜想得出结论：sin2α+cos2（α+75°）+

 

sinαcosα（α+75°）=

2- 3

4

．

Answer 1

考点：归纳推理

专题：推理和证明

分析：分析观察得到等式的左边第三项的系数为2倍的第二项中α加的度数的正弦，从而得到答案．

解答： 解：由于sin²α+cos²（α+30°）+sinαcosα（α+30°）=

3

4

，
即为sin²α+cos²（α+30°）+2sin30°sinαcosα（α+30°）=

3

4

；
sin²α+cos²（α+45°）+

2

sinαcosα（α+45°）=

1

2

，
即为sin²α+cos²（α+45°）+2sin45°sinαcosα（α+45°）=

1

2

；
sin²α+cos²（α+90°）+2sinαcosα（α+90°）=0，
即为sin²α+cos²（α+90°）+2sin90°sinαcosα（α+90°）=0．
故sin²α+cos²（α+75°）+2sin75°sinαcosα（α+75°）=

2- 3

4

，
即为sin²α+cos²（α+75°）+

6 + 2

2

sinαcosα（α+75°）=

2- 3

4

．
故答案为：

6 + 2

2

．

点评：本题考查归纳推理及应用，注意观察等式的特点是解题的关键．