Question

已知椭圆,椭圆以的长轴为短轴,且与有相同的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆和上, ,求直线的方程.

Answer 1

（1）；（2）或

试题分析：（1）由题意可设，所求椭圆的方程为，且其离心率可由椭圆的方程知，因此，解之得，从而可求出椭圆的方程为.
（2）由题意知，所求直线过原点，又椭圆短半轴为1，椭圆的长半轴为4，所以直线不与轴重合，即直线的斜率存在，可设直线的斜率为，直线的方程为，又设点、的坐标分别为、，分别联立直线与椭圆、的方程消去、可得，，又得，即，所以，解得，从而可求出直线的直线方程为或.
试题解析：(1)由已知可设椭圆的方程为 
其离心率为,故,则 
故椭圆的方程为       5分
(2)解法一 两点的坐标分别记为 
由及(1)知,三点共线且点,不在轴上,
因此可以设直线的方程为 
将代入中,得,所以 
将代入中,则,所以 
由,得,即 
解得,故直线的方程为或        12分
解法二 两点的坐标分别记为 
由及(1)知,三点共线且点,不在轴上,
因此可以设直线的方程为 
将代入中,得,所以 
由,得, 
将代入中,得,即 
解得,故直线的方程为或.