Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0），F为它的焦点，直线2x-y=0截抛物线C所得的弦长为

5

．
（1）求抛物线C的方程；
（2）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；
（3）设过点F的直线l交抛物线C于A、B两点，交y轴于点M，若

AM

=a

AF

，

BM

=b

BF

，试问a+b是否为定值？若是，求出a+b的值；若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）直线2x-y=0与知抛物线C：y²=2px联立可得4x²=2px，求出交点的横坐标，利用直线2x-y=0截抛物线C所得的弦长为

5

，求出p，即可求抛物线C的方程；
（2）利用抛物线方程，可抛物线C的焦点坐标和准线方程；
（3）设直线l的方程为：x=my+1，联立方程可得：y²-4my-4=0，利用向量知识，结合韦达定理，即可得出结论．

解答： 解：（1）直线2x-y=0与知抛物线C：y²=2px联立可得4x²=2px，
∴x=0或x=

p

2

，
∴直线2x-y=0截抛物线C所得的弦长为

1+4

•

p

2

=

5

，
∴p=2，
∴抛物线C：y²=4x；
（2）抛物线C的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1；
（3）设直线l的方程为：x=my+1，
联立方程可得：y²-4my-4=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，
x=0时，y=-

1

m

，∴M（0，-

1

m

），
∵

AM

=a

AF

，

BM

=b

BF

，
∴（-x₁，-

1

m

-y₁）=a（1-x₁，-y₁），（-x₂，-

1

m

-y₂）=b（1-x₂，-y₂），
∴a=1+

1

my1

，b=2+

1

my2

，
∴a+b=2+

1

my1

+

1

my2

=2+

m(y1+y2)

m2y1y2

=1
故a+b为定值且定值为1．

点评：本小题主要考查等比关系的确定、向量坐标的应用、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．