Question

2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点在x轴上，且经过点（2，0）和点（0，1）；
（2）焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P（0，-10），P到它较近的一个焦点的距离等于2．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：设椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），则点（2，0）为椭圆的右顶点，点（0，1）为椭圆的上顶点，a=2，b=1，即可求得椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）由椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），P（0，-10）在椭圆上，即P为椭圆的下顶点，则a=10．-c-（-10）=2，故c=8，b²=a²-c²=36．即可求得椭圆方程．

解答 解：（1）由椭圆的焦点在x轴上，
∴设椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
∵椭圆经过点（2，0）和（0，1）
∴则点（2，0）为椭圆的右顶点，点（0，1）为椭圆的上顶点，
∴a=2，b=1，
则椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）∵椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
∵P（0，-10）在椭圆上，即P为椭圆的下顶点，
∴a=10．
又∵P到它较近的一个焦点的距离等于2，
∴-c-（-10）=2，故c=8，
∴b²=a²-c²=36．
∴求椭圆的标准方程：$\frac{{y}^{2}}{100}+\frac{{x}^{2}}{36}=1$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的简单几何性质，考查计算能力，属于基础题．