Question

7．已知函数f（x）定义域为[-1，1]，若对于任意的x，y∈[-1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，有f（x）＞0．
（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）判断并证明函数f（x）的单调性；
（3）设f（1）=1，若f（x）＜m²-2am+1，对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据定义域赋值，求出f（0）=0，令y=0，根据定义判断其奇偶性．
（2）根据关系式，利用定义判断即可．
（3）利用单调性求出f（x）在其定义域内的最大值，把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，即可求解．

解答 解：（1）由题意：函数f（x）定义域为[-1，1]，对任意的x，y∈[-1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），令x=y=0时，解得f（0）=0．
令y=-x，则有：f（0）=f（x）+f（-x），
化简得：f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）的奇函数；
（2）∵x＞0时，有f（x）＞0．
f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数；
令-1≤x₁＜x₂≤1，
则有f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x）在[-1，1]上为单调递增函数；
（3）由（2）可知f（x）在[-1，1]上为单调递增函数，
f（x）_max=f（1）=1，使f（x）＜m²-2am+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，只要m²-2am+1＞1，即m²-2am＞0．
令g（a）=m²-2am=-2am+m²，
要使g（a）＞0恒成立，则
$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）＞0}\\{g（1）＞0}\end{array}\right.$
解得：m＞2或m＜-2
所以实数m的取值范围是（-∞，-2）∪（2，+∞）；

点评 本题考查了抽象函数的奇偶性，单调性的判断，利用了赋值法．以及恒等式转化为不等式的问题．属于中档题．