Question

已知函数，，函数的图像在点处的切线平行于轴．
（1）求的值；
（2）求函数的极小值；
（3）设斜率为的直线与函数的图象交于两点，（）,证明：．

Answer 1

(1) ；（2）；（3）证明过程详见解析.

试题分析：本题考查函数与导数及运用导数求切线方程、单调区间、最值等数学知识和方法，突出考查综合运用数学知识和方法分析问题解决问题的能力.第一问，对求导，将代入得到切线的斜率，由已知得，即，所以；第二问，利用第一问的结论得到的解析式，对求导，判断函数的单调性和极值；第三问，先用分析法得出与结论等价的式子，即，先证不等式的右边，构造函数，通过求导数判断函数的单调性，求出最大值，所以，即，再证不等式的左边，同样构造函数，通过求导，求出最小值，即，即，综合上述两部分的证明可得.
试题解析：（1）依题意得，则
由函数的图象在点处的切线平行于轴得：
∴ .
（2）由（1）得 
∵函数的定义域为，令得或
函数在上单调递增，在单调递减；在上单调递增．故函数的极小值为
（3）证法一：依题意得，
要证，即证
因，即证 
令（），即证（）
令（）则
∴在（1，+）上单调递减，
∴ 即，                 ①
令（）则
∴在（1，+）上单调递增，
∴=0，即（）                 ②
综①②得（），即．
【证法二：依题意得，
令则
由得，当时，，当时，，
在单调递增，在单调递减，又
即