Question

已知函数，（，为自然对数的底数）.
（1）当时，求的单调区间；
（2）对任意的，恒成立，求的最小值；
（3）若对任意给定的，在上总存在两个不同的，使得成立，求的取值范围.

Answer 1

（1）函数的单调减区间为单调增区间为；（2）实数的最小值为；
（3）实数的取值范围是.

试题分析：（1）把代入函数的解析式，直接利用导数求函数在定义域上的单调区间；（2）利用参数分离法将问题中的不等式等价转化为在上恒成立，即，进而求出参数的取值范围，从而求出的最小值；（3）先利用导数求出函数在上的值域，利用导数研究函数的单调性，并求出方程的唯一根，将条件“对于任意给定的
，在总存在两个不同的，使得”转化为“函数在区间上存在唯一极值点，即，且函数在区间和区间上的值域均包含函数在区间上的值域”，从而列出相应的不等式进行求解参数的取值范围.
试题解析：（1）当时，，，
由，，由，，
故的单调减区间为，单调增区间为；
（2）即对，恒成立，
令，，则，
再令，，，
在上为减函数，于是，
从而，，于是在上为增函数，，
故要恒成立，只要，即的最小值为；
（3），当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
，，，
所以，函数在上的值域为.
当时，不合题意；
当时，，，
故，，    ①
此时，当变化时，、的变化情况如下：

	单调减	最小值	单调增

，，，，
所以，对任意给定的，在区间上总存在两个不同的，
使得成立，当且仅当满足下列条件
，即 
令，，
，令，得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以，对任意，有，
即②对任意恒成立，
由③式解得：，   ④
综合①④可知，当时，对任意给定的，
在总存在两个不同的，使得成立.