Question

18．P是椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1上的点，它到左焦点的距离等于它到右焦点的距离的4倍，求P点的坐标．

Answer 1

分析 由椭圆方程求得a，进而根据椭圆定义及题意可求得|PF₂|，根据b和a求得c，进而求得焦点坐标，设点P的坐标，代入|PF₂|²和椭圆方程联立后求得m和n，点P的坐标可得．

解答 解：∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，∴a=5
根据椭圆定义可知|PF₁|+|PF₂|=2a=10
设F₁是左焦点，所以|PF₁|=4|PF₂|
∴4|PF₂|+|PF₂|=2a=10
∴|PF₂|=2
∵c²=a²-b²=9
∴F₂（3，0）
设P（m，n）
∴|PF₂|²=（m-3）²+n²=4①
∵P在椭圆上
∴$\frac{{m}^{2}}{25}+\frac{{n}^{2}}{16}=1$②
①②解得m=5，n=0
∴P（5，0）．

点评 本题主要考查了椭圆的应用．本题灵活利用了椭圆的第一定义，是解题的关键．