Question

8．已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边．
（1）若a=ccosB，且b=csinA，试判断△ABC的形状；
（2）若△ABC的面积S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，c=2，A=60°，求a、b的值．

Answer 1

分析 （1）由a=ccosB，利用余弦定理可得a=c×$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，解得a²+b²=c²，可得C=90°，由b=csinA，结合正弦定理可得A=B，即可得解三角形为等腰直角三角形．
（2）由S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得b，由余弦定理即可解得a．

解答 解：（1）由a=ccosB，可得a=c×$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，即a²+b²=c²，可得C=90°．
由b=csinA，结合正弦定理可得sinB=sinA，可得A=B，
所以三角形为等腰直角三角形；…6分
（2）由S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得b=1，
由a²=c²+b²-2bccosA，解得a=$\sqrt{3}$．…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，熟练掌握相关公式及定理是解题的关键，属于中档题．