Question

3．设函数h_t（x）=3tx-2t²，若有且仅有一个正实数x₀，使得h₆（x₀）≥h_t（x₀）对任意的正数t都成立，则x₀=（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． 7
• D． 8

Answer 1

分析 式子整理为3tx₀-2t²-（18x₀-72），构造函数g（t）=3tx₀-2t²-18x₀+72≤0恒成立，只需求出函数最大值，由题意知当t=6时，函数
取最大值，可得：$\frac{3}{4}{x}_{0}$=6，求解即可．

解答 解：h_t（x₀）-h₆（x₀）
=3tx₀-2t²-（18x₀-72），
令g（t）=3tx₀-2t²-18x₀+72，
∵h₆（x₀）≥h_t（x₀）对任意的正数t都成立，
∴g（t）=3tx₀-2t²-18x₀+72≤0恒成立，
∴g（$\frac{3}{4}{x}_{0}$）为g（t）的最大值，
由题意可得：$\frac{3}{4}{x}_{0}$=6，
∴x₀=8
故选：D．

点评 考查了恒成立问题的转换和抽象函数的理解．应读懂题意．