Question

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=2．
（1）证明：平面PBE⊥平面PAB；
（2）求PC与平面PAB所成角的余弦值．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）利用面面垂直的判定定理来证明．
（2）过点C作CF⊥AB于F，连接PF．∠DPF即为PD与平面PAB所成的角，由此能求出PC与平面PAB所成角的余弦值．

解答： （1）证明：∵底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，
∴BE⊥AB，
∵PA⊥底面ABCD，BE?底面ABCD，
∴BE⊥PA，∵PA∩AB=A，
∴BE⊥平面PAB，
∵BE?平面PBE，∴平面PBE⊥平面PAB．…（6分）
（2）解：过点C作CF⊥AB于F，连接PF．则AF=

3

2

，
由（1）知EB⊥平面PAB，则CF⊥平面PAB，
则∠DPF即为PD与平面PAB所成的角，…（8分）
∵PA=2，AF=

3

2

，又CF=BE=

3

2

，
∴PF=

5

2

，PC=

7

，…（10分）
∴cos∠CPF=

5 7

14

．
∴PC与平面PAB所成角的余弦值为

5 7

14

．…（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．