Question

△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若bcosA=

2

a，则

a

c

的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：利用正弦定理把已知等式中的边换成角的正弦化简后，代入sinC的表达式，进而根据正弦定理把

a

c

的范围，转化为

sinA

sinC

的范围，利用cosB的有界性求得答案．

解答： 解：△ABC中，根据正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

知，

a

c

=

sinA

sinC

，
∵bcosA=

2

a，
∴sinBcosA=

2

sinA，
又∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=sinAcosB+

2

sinA，
∴

a

c

=

sinA

sinC

=

sinA

sinAsinB+ 2 sinA

=

1

cosB+ 2

，
∵∠B∈（0，π），
∴-1＜cosB＜1，
∴

2

-1＜cosB+

2

＜1+

2

，
∴

1

2 -1

＞

1

cosB+ 2

＞

1

2 +1

，
∴

2

-1＜

a

c

＜

2

+1，
故答案为：（

2

-1，

2

+1）．

点评：本题主要考查了正弦定理的运用．在涉及三角形中范围的问题，往往需要利用正弦定理转化成角的问题，进而利用三角函数的性质解决问题．