Question

19．已知函数f（x）=2sinx（${\sqrt{3}cosx-sinx}$）．
（1）求函数f（x）在（${-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}$）上的值域；
（2）在△ABC中，f（C）=0，且sinB=sinAsinC，求tanA的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，x∈（${-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}$）上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，即得到f（x）的值域．
（2）根据f（C）=0求出角C，sinB=sinAsinC=sin（A+C）利用和与差公式，即可求tanA的值．

解答 解：函数f（x）=2sinx（${\sqrt{3}cosx-sinx}$）．
化简可得：f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx-2sin²x=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x-1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1．
（1）∵x∈（${-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}$）上时，
可得：2x+$\frac{π}{6}$∈（$-\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$）．
∴$-\frac{1}{2}$＜sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1
故得函数f（x）在（${-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}$）上的值域为（-2，1]．
（2）∵f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1，
∵f（C）=0，
即sin（2C+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$．
∵0＜C＜π，
∴2C+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$．
得：C=$\frac{π}{3}$．
∵sinB=sinAsinC，
可得sin（A+C）=sinAsinC，
∴sin（A+$\frac{π}{3}$）=sinAsin$\frac{π}{3}$．
得：（$\sqrt{3}-1$）sinA=$\sqrt{3}$cosA．
那么：tanA=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$=$\frac{\sqrt{3}+3}{2}$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．