Question

19．已知函数f（x）=|x²+2x|，x∈R，若方程f（x）-a|x-1|=0恰有4个互异的小于1的实数根，则实数a的取值范围为（0，4-2$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 作出f（x）=|x²+2x|与y=a|x-1|的函数图象，令两图象相切求出临界值，即可得出a的范围．

解答 解：∵方程f（x）-a|x-1|=0恰有4个互异的小于1的实数根，
∴y=f（x）与y=a|x-1|在（-∞，1）上有四个交点，
作出f（x）=|x²+2x|与y=a|x-1|的函数图象如图所示：

显然a＞0，
当-2＜x＜0时，f（x）=-x²-2x，
设直线y=-ax+a与f（x）在（-2，0）上的函数图象相切，
把y=-ax+a代入y=-x²-2x得x²+（2-a）x+a=0，
由△=（2-a）²-4a=0得a=4+2$\sqrt{3}$或a=4-2$\sqrt{3}$．
当a=4+2$\sqrt{3}$时，切点横坐标为x=-$\frac{2-a}{2}$=1+$\sqrt{3}$＞0，不符合题意；
∴a=4-2$\sqrt{3}$．
∴当0$＜a＜4-2\sqrt{3}$时，两图象有4个交点．
故答案为：（0，4-2$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了方程根的个数与函数图象的关系，属于中档题．