Question

已知函数f（x）=ax²+2x-2-a（a≤0），
（1）若a=-1，求函数的零点；
（2）若函数在区间（0，1]上恰有一个零点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法,二次函数的性质,函数零点的判定定理

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）利用零点的含义、一元二次方程的解法即可得出；
（2））分类讨论：当a=0时，直接求出．当a＜0，二次函数有且只有一个零点且在（0，1]时，满足条件，

△=4+4a(a+2)=0 0＜- 1 a ≤1

，解出即可．
③当a＜0，二次函数有两个零点，一个在（0，1]时，满足条件，

△=4+4a(a+2)＞0 f(0)•f(1)＜0

，

解答： 解：（1）当a=-1时，f（x）=-x²+2x-1，
令f（x）=-x²+2x-1=0，
解得x=1，
∴当a=-1时，函数f（x）的零点是1．
（2）①当a=0时，2x-2=0得x=1，符合题意．
当a≠0时，f（x）=a(x+

1

a

)2-2-a-

1

a

．△=4（a+1）²≥0．
②当-1＜a＜0，-

1

a

＞1．二次函数有且只有一个零点且在（0，1]时，
则f（0）＜0，f（1）=0，∴-2-a＜0，解得-1＜a＜0．
③当a=-1时，f（x）=-（x-1）²=0，解得x=1，满足条件．
④当a＜-1，则0＜-

1

a

＜1．f（0）=-2-a≤0，f（1）=0，解得-1＞a≥-2．
综上可得：a∈[-2，0]．

点评：本题主要考查了二次函数的性质，以及函数零点存在性定理，同时考查了运算求解的能力和分类讨论的思想方法，属于基础题．