Question

已知f（x）为奇函数，且f（2+x）=f（2-x），当-2≤x≤0时，f（x）=2^x，则f（2013）=

1

2

．

Answer 1

分析：由f（x）为奇函数可得，f（-x）=-f（x），且f（2+x）=f（2-x），则可得f（x+8）=f（x），则f（2 013）=f（5）=f（-1），代入即可求得答案．

解答：解：∵函数f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
又∵f（2+x）=f（2-x），
∴f（4+x）=f（-x）=-f（x）
∴f（x+8）=-f（x+4）=f（x），
∴f（x）是周期为8的函数，
∴f（2 013）=f（251×8+5）=f（5），
∵f（2+x）=f（2-x），令x=3，则有f（5）=f（-1），
∵当x∈[-2，0]时，f（x）=2^x，
∴f（-1）=2^-1=

1

2

，
∴f（2013）=

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题主要考查了奇函数性质的应用及函数的对称性和周期性的应用，解题的关键是由已知奇偶性和对称性求出函数的周期为．注意一般结论的记忆：若函数关于（a，0）对称，又关于直线x=b对称，则函数是以4|b-a|为周期的周期函数．属于基础题．