Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，并且满足2S_n＝a＋n，a_n>0(n∈N^*)．

(1)猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

(2)设x>0，y>0，且x＋y＝1，证明：

Answer 1

 (1)分别令n＝1,2,3，

得

∵a_n>0，∴a₁＝1，a₂＝2，a₃＝3.

猜想：a_n＝n.

由2S_n＝a＋n.①

可知，当n≥2时，2S_n－1＝a＋(n－1)．②

①－②，得2a_n＝a－a＋1，

即a＝2a_n＋a－1.

(ⅰ)当n＝2时，a＝2a₂＋1²－1，

∵a₂>0，∴a₂＝2.

(ⅱ)假设当n＝k(k≥2)时，a_k＝k，那么当n＝k＋1时，

a＝2a_k＋1＋a－1＝2a_k＋1＋k²－1

⇒[a_k＋1－(k＋1)][a_k＋1＋(k－1)]＝0，

∵a_k＋1>0，k≥2，∴a_k＋1＋(k－1)>0，

∴a_k＋1＝k＋1.

即当n＝k＋1时也成立．

∴a_n＝n(n≥2)．

显然n＝1时，也成立，故对于一切n∈N^*，均有a_n＝n.

即4xy≤1.

∵x>0，y>0，且x＋y＝1，∴≤＝，

即xy≤，故4xy≤1成立，所以原不等式成立．