Question

（本小题满分13分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．

（Ⅰ）当时，求函数的表达式；

（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：

辆/小时）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）

 

Answer 1

（1） =； （2） 当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．

【解析】

试题分析： （1）本题是一个分段函数，当车流量小于等于20时，速度为60千米/小时，当车流量大于20时小于或等于200时通过两端点解出一次函数的解析式．（2）通过计算分段函数一个是一次函数，一个是二次函数来确定最大值．本题属于分段函数的应用，这类应用题关键就是审清题意．分段函数的最大值是分别求出各段函数的最大值，再求出总的最大值．

试题解析：（Ⅰ）由题意：当时，；当时，设，显然在是减函数，由已知得，解得

故函数的表达式为= 6分

（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得 8分

当时，为增函数，故当时，其最大值为；

当时，，

当且仅当，即时，等号成立．

所以，当时，在区间上取得最大值． ．12分

综上，当时，在区间上取得最大值，

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，

最大值约为3333辆/小时 ．．．13分

考点：函数的应用问题．