Question

19．已知θ为锐角，且cos（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{5}$，则cosθ=$\frac{4\sqrt{3}+\sqrt{2}}{10}$．

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系求得sin（$θ+\frac{π}{4}$）的值，再利用两角和差的余弦公式求得cosθ=cos[（$θ+\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]的值．

解答 解：∵θ为锐角，且cos（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{5}$，∴θ+$\frac{π}{4}$为锐角，
故sin（$θ+\frac{π}{4}$）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（θ+\frac{π}{4}）}$=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$，
则cosθ=cos[（$θ+\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]=cos（θ+$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$+sin（θ+$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$=$\frac{1}{5}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{2\sqrt{6}}{5}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}+\sqrt{2}}{10}$，
故答案为：$\frac{4\sqrt{3}+\sqrt{2}}{10}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的余弦公式的应用，属于基础题．