Question

角α的顶点在坐标原点O，始边在y轴的正半轴上，终边与单位圆交于第三象限内的点P，且tanα=-

3

4

；角β的顶点在坐标原点O，始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限内的点Q，且tanβ=-2．对于下列结论：
①P（-

3

5

，-

4

5

）；
②|PQ|²=

10+2 5

5

；
③cos∠POQ=-

3

5

；
④△POQ的面积为

5

5

．
其中所有正确结论的序号有

 

．

Answer 1

考点：三角函数线

专题：三角函数的求值

分析：利用诱导公式得到OP所对应的角，结合平方关系求解

π

2

+α的正余弦值得答案，判断命题①；
求出Q的坐标，由两点间的距离公式计算|PQ|²，然后判断真假；
把两角差的余弦用诱导公式化为正弦，展开后计算得答案，再判断真假；
直接由面积公式求值，然后判断真假．

解答： 解：如图，

对于①，由tanα=-

3

4

，得cot(α+

π

2

)=

3

4

，
∴

cos(α+ π 2 )

sin(α+ π 2 )

=

3

4

．
又sin2(α+

π

2

)+cos2(α+

π

2

)=1，
且α+

π

2

∈(π，

3π

2

)，
解得：sin(α+

π

2

)=-

4

5

，cos(α+

π

2

)=-

3

5

．
设P（x，y），
∴x=cos(α+

π

2

)=-

3

5

，sin(α+

π

2

)=-

4

5

．
∴P（-

3

5

，-

4

5

）．命题①正确；
对于②，由tanβ=-2，得

sinβ

cosβ

=-2，
又sin²β+cos²β=1，且β∈(

π

2

，π)，
解得：cosβ=-

5

5

，sinβ=

2 5

5

．
∴Q（-

5

5

，

2 5

5

）．
∴|PQ|²=(-

3

5

+

5

5

)2+(-

4

5

-

2 5

5

)2=

10+2 5

5

．命题②正确；
对于③，cos∠POQ=cos（

π

2

+α-β）=-sin（α-β）
=-sinαcosβ+cosαsinβ=-

3

5

×(-

5

5

)+(-

4

5

)×

2 5

5

=-

5

5

．命题③错误；
对于④，由③得：sin∠POQ=

2 5

5

，
∴S△POQ=

1

2

×1×1×

2 5

5

=

5

5

．命题④正确．
∴正确的命题是①②④．
故答案为：①②④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查了三角函数线，训练了三角函数的诱导公式及同角三角函数基本关系式的用法，是中档题．