题目内容
设f′（x）为函数f（x）的导数，对任意x∈R，都有0＜f（x）＜1且0＜f′（x）＜1．
（Ⅰ）求证：函数F（x）=f（x）-x有唯一零点x0；
（Ⅱ）若数列{xn}满足xn+1=f（xn）（n∈N*）且x1＞x0，证明：xn＞x0（n∈N*）且数列{xn}为单调递减数列．
（Ⅰ）求证：函数F（x）=f（x）-x有唯一零点x0；
（Ⅱ）若数列{xn}满足xn+1=f（xn）（n∈N*）且x1＞x0，证明：xn＞x0（n∈N*）且数列{xn}为单调递减数列．
考点：数列与函数的综合,函数的零点,数列的函数特性
专题：计算题,证明题,导数的综合应用
分析：（Ⅰ）求导说明单调性，一负一正，则有唯一的零点；（Ⅱ）利用数学归纳法证明．
解答：
证明：（Ⅰ）∵F′（x）=f′（x）-1，
又∵0＜f′（x）＜1，∴F′（x）＜0．
则函数F（x）在R上为减函数，
又∵F（0）=f（0）-0＞0，
F（2）=f（2）-2＜0，
则函数F（x）=f（x）-x有唯一零点x0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x0）=x0；
∵0＜f′（x）＜1．x∈R，
∴函数f（x）在R上是增函数；
①∵x1＞x0，∴f（x1）＞f（x0）；又∵xn+1=f（xn）；
即x2＞x0，
②假设xn-1＞x0，则f（xn-1）＞f（x0），
即xn＞x0．
故xn＞x0（n∈N*）．
又∵xn+1-xn=f（xn）-xn=F（xn）；
且函数F（x）在R上为减函数，又xn＞x0，
∴xn+1-xn=F（xn）＜F（x0）=0，
∴xn+1＜xn；
∴数列{xn}为单调递减数列．
又∵0＜f′（x）＜1，∴F′（x）＜0．
则函数F（x）在R上为减函数，
又∵F（0）=f（0）-0＞0，
F（2）=f（2）-2＜0，
则函数F（x）=f（x）-x有唯一零点x0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x0）=x0；
∵0＜f′（x）＜1．x∈R，
∴函数f（x）在R上是增函数；
①∵x1＞x0，∴f（x1）＞f（x0）；又∵xn+1=f（xn）；
即x2＞x0，
②假设xn-1＞x0，则f（xn-1）＞f（x0），
即xn＞x0．
故xn＞x0（n∈N*）．
又∵xn+1-xn=f（xn）-xn=F（xn）；
且函数F（x）在R上为减函数，又xn＞x0，
∴xn+1-xn=F（xn）＜F（x0）=0，
∴xn+1＜xn；
∴数列{xn}为单调递减数列．
点评：本题考查了函数导数的综合应用及数学归纳法．属于难题．
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