Question

已知a，b，c分别为△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C的对边，且

3

c=asinC+

3

ccosA；
（1）求∠A的大小；
（2）若a=2

2

，△ABC的面积为2

3

，求b，c的值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形

分析：（1）运用正弦定理和二倍角的正弦和余弦公式，以及同角的商数关系，结合特殊角的三角函数值，即可得到A；
（2）由余弦定理和面积公式，联立方程，即可解得b，c．

解答： 解：（1）由正弦定理，可得，

3

c=asinC+

3

ccosA，
即为

3

sinC=sinAsinC+

3

sinCcosA，
即sinA=

3

（1-cosA），即2sin

A

2

cos

A

2

=2

3

sin2

A

2

，
即有tan

A

2

=

3

3

，由于0＜A＜π，即有

A

2

=

π

6

，
则A=

π

3

；
（2）由△ABC的面积为2

3

，则2

3

=

1

2

bcsin

π

3

=

3

4

bc，
即有bc=8，
由余弦定理，可得，
a²=8=b²+c²-2bccos

π

3

=b²+c²-bc=b²+c²-8
即b²+c²=16，
解得，b=c=2

2

．

点评：本题考查正弦定理和余弦定理、及面积公式的运用，考查三角函数的化简和求值，考查运算能力，属于中档题．