Question

10．已知函数f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+cos²x（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期、最大值及取得最大值时x的集合、对称轴、对称中心和单调递增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-$\frac{π}{6}，\frac{π}{6}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用正弦函数的图象和性质，求得函数f（x）的最小正周期、最大值及取得最大值时x的集合、对称轴、对称中心和单调递增区间．
（Ⅱ）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求函数f（x）在区间[-$\frac{π}{6}，\frac{π}{6}$]上的最大值和最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+cos²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1+cos2x}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
故函数的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π；
函数的最大值为1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，此时，2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，即x=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
故函数取得最大值时x的集合为{x|x=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z}；
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，故函数的图象的对称轴方程为 x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z；
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ，即x=$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{π}{12}$，k∈Z，故函数的图象的对称中心为 （$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{6}$，0），k∈Z；
令 2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（Ⅱ）∵x∈[-$\frac{π}{6}，\frac{π}{6}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，故当2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$时，f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$取得最小值为0，
当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$取得最大值为1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性、最值，正弦函数的图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．