Question

15．已知正项数列{a_n}适合：a₁=1，（n+1）a_n+1²-na_n²+a_n+1a_n=0．
（1）写出前四项并写出其通项公式；
（2）当n≥2时，试比较$lo{g}_{{a}_{n}}{a}_{n+1}$与$lo{g}_{{a}_{n+1}}{a}_{n+2}$的大小．

Answer 1

分析 （1）依次取n的值为1，2，3，能写出数列的前四项，对数列递推式化简，再叠乘，即可求{a_n}通项公式．
（2）n≥2时，$lo{g}_{{a}_{n}}{a}_{n+1}$=log_n（n+1），$lo{g}_{{a}_{n+1}}{a}_{n+2}$=log_n+1（n+2），由此利用基本不等式和换底公式能比较$lo{g}_{{a}_{n}}{a}_{n+1}$和$lo{g}_{{a}_{n+1}{\;}_{\;}}{a}_{n+2}$的大小．

解答 解：（1）∵正项数列{a_n}适合：a₁=1，（n+1）a_n+1²-na_n²+a_n+1a_n=0，
∴2${{a}_{2}}^{2}-1+{a}_{2}$=0，解得a₂=$\frac{1}{2}$，或a₂=-1（舍），
3${{a}_{3}}^{2}$-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}{a}_{3}$=0，解得${a}_{3}=\frac{1}{3}$或${a}_{3}=-\frac{1}{2}$（舍），
$4{{a}_{4}}^{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}{a}_{4}$=0，解得a₄=$\frac{1}{4}$，或${a}_{4}=-\frac{1}{3}$（舍）．
∵（n+1）a_n+1²-na_n²+a_n+1a_n=0
∴a_n+1=$\frac{n}{n+1}{a}_{n}$，或a_n+1=-a_n（不合题意舍去），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{n}{n+1}$，
∴${a}_{n}={a}_{1}×\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}×\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}×…×\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$
=1×$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×…×\frac{n-1}{n}$=$\frac{1}{n}$，
∴${a}_{n}=\frac{1}{n}$．
（2）n≥2时，$lo{g}_{{a}_{n}}{a}_{n+1}$=$lo{g}_{\frac{1}{n}}\frac{1}{n+1}$=log_n（n+1），
$lo{g}_{{a}_{n+1}}{a}_{n+2}$=$lo{g}_{\frac{1}{n+1}}\frac{1}{n+2}$=log_n+1（n+2），
由基本不等式，得：
lgnlg（n+2）＜$[\frac{lgn+lg（n+2）}{2}]^{2}$=[0.5lgn（n+2）]²
=[0.5lg（n+1-1）（n+1+1）]²
=[0.5lg（（n+1）²-1）]²
＜[0.5lg（n+1）²]²
=lg（n+1）lg（n+1），
∴$\frac{lg（n+1）}{lgn}$＞$\frac{lg（n+2）}{lg（n+1）}$，∴log_n（n+1）＞log_n+1（n+2），
∴$lo{g}_{{a}_{n}}{a}_{n+1}$＞$lo{g}_{{a}_{n+1}{\;}_{\;}}{a}_{n+2}$．

点评 本题考查数列递推式的应用，考查数列的通项的求法，考查不等式的证明，综合性强，难度大，解题时要注意递推思想、累乘法、换底公式的合理运用．