Question

已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g（x）=2log₂（1-x）．
（1）写出g（x）解析式，g（x）=

log2(1-x2)

；
（2）若f（x）＜0，则x的取值范围是

（0，1）

．

Answer 1

分析：（1）依题意，由

f(x)+g(x)=2log2(1-x) -f(x)+g(x)=2log2(1+x)

即可求得g（x）解析式；
（2）由（1）可求得f（x）的解析式，解不等式f（x）＜0即可．

解答：解：（1）∵f（x）+g（x）=2log₂（1-x），
∴f（-x）+g（-x）=2log₂（1+x），
又f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，
∴-f（x）+g（x）=2log₂（1+x），
∴由

f(x)+g(x)=2log2(1-x) -f(x)+g(x)=2log2(1+x)

得：
g（x）=log2(1-x2)，f（x）=log2

1-x

1+x

；
（2）∵f（x）=log2

1-x

1+x

（-1＜x＜1），
∴当f（x）＜0时，log2

1-x

1+x

＜0，
∴0＜

1-x

1+x

＜1，
∴0＜x＜1．
∴x的取值范围是（0，1）
故答案为：log2(1-x2)，（0，1）．

点评：本题考查函数解析式的求解及常用方法--方程组法；考查对数函数的单调性，属于中档题．