Question

11．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sin2x，cos2x），$\overrightarrow{b}$=（cos2x，-cos2x），
（1）若x∈（$\frac{7π}{24}$，$\frac{5π}{12}$）时，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{2}$=-$\frac{3}{5}$，求cos4x的值；
（2）cos2x≥$\frac{1}{2}$，x∈（0，π），若关于x的方程$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{2}$=m有且只有一个根，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）首先根据向量的数量积，进一步对三角函数进行恒等变换，结合题中的定义域，求出cos4x的值．
（2）根据函数的单调性和函数的交点情况，利用函数的图象求出参数m的值．

解答 解：（1）∵已知$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sin2x，cos2x），$\overrightarrow{b}$=（cos2x，-cos2x），
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$sin2xcos2x-cos²2x+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin4x-$\frac{1}{2}$cos4x=sin（4x-$\frac{π}{6}$），
∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{2}$=-$\frac{3}{5}$，
∴sin（4x-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{3}{5}$，
∵x∈（$\frac{7π}{24}$，$\frac{5π}{12}$），
∴4x-$\frac{π}{6}$∈（π，$\frac{3π}{2}$），
∴cos（4x-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{4}{5}$，
∴cos4x=cos[（4x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=cos（4x-$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$-sin（4x-$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$）=$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$．
（2）∵x∈（0，π），cosx在（0，π）上是单调递减函数．
∴0＜x≤$\frac{π}{3}$，
令f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{2}$=sin（4x-$\frac{π}{6}$），g（x）=m，
根据在同一坐标系中函数的图象求得：m=1或m=-$\frac{1}{2}$．
故答案为：
（1）cos4x=$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$；
（2）m=1或m=-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查的知识点有：向量的数量积，三角函数式的恒等变换，三角函数的求值，函数的单调性，三角函数的图象，以及参数的取值问题，属于中档题．