Question

14．已知函数f（x）=-lnx+t（x-1），t为实数．
（1）当t=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若当t=$\frac{1}{2}$时，$\frac{k}{x}$-$\frac{1}{2}$-f（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导函数，利用导数大于0，求函数的单调增区间，导数小于0，求函数的单调减区间；
（2）当t=$\frac{1}{2}$时，$\frac{k}{x}$-$\frac{1}{2}$-f（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，可得k＜-xlnx+$\frac{1}{2}{x}^{2}$在（1，+∞）上恒成立，利用导数确定单调性，求出最值，即可求实数k的取值范围．

解答 解：（1）当t=1时，f（x）=-ln x+（x-1），f′（x）=-$\frac{1}{x}$+1，
令f′（x）=0，∴x=1，∵x∈（0，+∞）
故函数f（x）的单调减区间为（0，1），单调增区间为（1，+∞）；
（2）当t=$\frac{1}{2}$时，$\frac{k}{x}$-$\frac{1}{2}$-f（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，
可得k＜-xlnx+$\frac{1}{2}{x}^{2}$在（1，+∞）上恒成立，
令y=-xlnx+$\frac{1}{2}{x}^{2}$，则y′=-lnx-1+x，
y″=-$\frac{1}{x}$+1＞0，∴y′在（1，+∞）上单调递增，
∴y′＞-ln1-1+1=0，
∴y在（1，+∞）上单调递增，
∴y＞$\frac{1}{2}$，
∴k≤$\frac{1}{2}$．

点评 本题以函数为载体，考查导数的运用，考查利用导数求函数的单调区间，同时考查了函数最值的运用，有一定的综合性．