Question

8．如图所示，四棱锥S-ABCD的底面是边长为4$\sqrt{2}$的正方形，且SA=SB=SC=SD=4$\sqrt{5}$，则过点A，B，C，D，S的球的体积为（　　）

• A． $\frac{125}{3}π$
• B． $\frac{250}{3}$π
• C． $\frac{500}{3}π$
• D． $\frac{550}{3}π$

Answer 1

分析 如图所示，连接对角线AC与BD，相交于点O，连接SO并延长交过点A，B，C，D，S的球面于点T，可得SC²=SO•ST，求出ST，即可得出球的半径，进而得出体积．

解答 解：如图所示，连接对角线AC与BD，相交于点O，连接SO并延长交过点A，B，C，D，S的球面于点T，
则SC²=SO•ST，
SO=$\sqrt{（4\sqrt{5}）^{2}-{4}^{2}}$=8，
∴ST=$\frac{（4\sqrt{5}）^{2}}{8}$=10，
设球的半径为R，则2R=10，解得R=5．
∴过点A，B，C，D，S的球的体积V=$\frac{4}{3}π×{5}^{3}$=$\frac{500π}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查了正四棱锥的性质、球的体积计算公式、勾股定理与射影定理，考查了推理能力与计算能力，射影中档题．