Question

15．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知函数f（x）=sin（3x+B）+cos（3x+B）是偶函数，且b=f（$\frac{π}{12}$）．
（1）求b．
（2）若a=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，求角C．

Answer 1

分析 （1）利用两角和的正弦函数公式化简函数解析式可得f（x）=$\sqrt{2}sin（3x+B+\frac{π}{4}）$，由题意可得
$B+\frac{π}{4}=kπ+\frac{π}{2}$，结合B范围可求B，求得解析式，即可得解b=f（$\frac{π}{12}$）的值．
（2）由已知及正弦定理得$sinA=\frac{1}{2}$，结合大边对大角及A的范围可求A，利用三角形内角和定理即可得解C的值．

解答 （本题满分为10分）
解：（1）f（x）=sin（3x+B）+cos（3x+B）=$\sqrt{2}sin（3x+B+\frac{π}{4}）$，
∵f（x）是偶函数，
∴$B+\frac{π}{4}=kπ+\frac{π}{2}$…（2分）
∵B∈（0，π），
∴$B=\frac{π}{4}$…（4分）
∴$f（x）=\sqrt{2}cos3x$，
∴$b=f（\frac{π}{12}）=\sqrt{2}cos\frac{π}{4}=1$．…（6分）
（2）∵$b=1，B=\frac{π}{4}，a=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，由正弦定理得：$sinA=\frac{1}{2}$，…（8分）
∵a＜b，
∴$A=\frac{π}{6}$，
∴从而$C=π-\frac{π}{4}-\frac{π}{6}=\frac{7π}{12}$．…（10分）

点评 本题主要考查了两角和的正弦函数公式，正弦定理，大边对大角，三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．