Question

6．已知函数f（x）=e^ax+b（a，b为实常数），曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线方程为y=x+1，而函数g（x）与函数f（x）互为反函数．
（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）设m＞n＞0，求证：$\frac{8（m-n）}{g（m）-g（n）}$＜（${m}^{\frac{1}{3}}$+${n}^{\frac{1}{3}}$）³．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得f（x）的导数，由题意可得f（0）=1，f′（0）=1，可得a=1，b=0，求得f（x）的解析式和g（x）的解析式；
（Ⅱ）原不等式即为$\frac{8（m-n）}{lnm-lnn}$＜（${m}^{\frac{1}{3}}$+${n}^{\frac{1}{3}}$）³．即ln$\frac{m}{n}$＞$\frac{8（\frac{m}{n}-1）}{（（\frac{m}{n}）^{\frac{1}{3}}+1）^{3}}$，令$\frac{m}{n}$=t（t＞1），即有lnt＞$\frac{8（t-1）}{（{t}^{\frac{1}{3}}+1）^{3}}$，设出h（t）=lnt-$\frac{8（t-1）}{（{t}^{\frac{1}{3}}+1）^{3}}$，t＞1，求出导数，判断单调性，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=e^ax+b的导数为f′（x）=ae^ax，
由题意可得f（0）=1，f′（0）=1，
即有1+b=1，a=1，可得b=0，
可得f（x）=e^x，g（x）=lnx；
（Ⅱ）证明：$\frac{8（m-n）}{g（m）-g（n）}$＜（${m}^{\frac{1}{3}}$+${n}^{\frac{1}{3}}$）³．
即为$\frac{8（m-n）}{lnm-lnn}$＜（${m}^{\frac{1}{3}}$+${n}^{\frac{1}{3}}$）³．
即ln$\frac{m}{n}$＞$\frac{8（m-n）}{（{m}^{\frac{1}{3}}+{n}^{\frac{1}{3}}）^{3}}$=$\frac{8（\frac{m}{n}-1）}{（（\frac{m}{n}）^{\frac{1}{3}}+1）^{3}}$，
令$\frac{m}{n}$=t（t＞1），即有lnt＞$\frac{8（t-1）}{（{t}^{\frac{1}{3}}+1）^{3}}$，
设h（t）=lnt-$\frac{8（t-1）}{（{t}^{\frac{1}{3}}+1）^{3}}$，t＞1，
可得h′（t）=$\frac{1}{t}$-$\frac{8（1+{t}^{-\frac{2}{3}}）}{（1+{t}^{\frac{1}{3}}）^{4}}$，
通分分子为（1+t${\;}^{\frac{1}{3}}$）⁴-8t（1+t${\;}^{-\frac{2}{3}}$）
=1+4t${\;}^{\frac{1}{3}}$+6t${\;}^{\frac{2}{3}}$+4t+t${\;}^{\frac{4}{3}}$-8t-8t${\;}^{\frac{1}{3}}$
=1-4t${\;}^{\frac{1}{3}}$+6t${\;}^{\frac{2}{3}}$-4t+t${\;}^{\frac{4}{3}}$=（1-t${\;}^{\frac{1}{3}}$）⁴＞0，
可得导数h′（t）＞0，即h（t）在t＞1递增，
可得h（t）＞h（1）=0，
即有lnt＞$\frac{8（t-1）}{（{t}^{\frac{1}{3}}+1）^{3}}$，
故原不等式成立．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，注意运用分析法证明不等式，以及单调性的运用，考查推理和运算能力，属于中档题．