Question

16．设{a_n}的相邻两项a_n、a_n+1是方程x²-c_nx+（$\frac{1}{3}$）ⁿ=0的两根，且a₁=2，求无穷数列{c_n}的各项之和．

Answer 1

分析 通过韦达定理可知a_n•a_n+1=$\frac{1}{{3}^{n}}$，并与a_n+1•a_n+2=$\frac{1}{{3}^{n+1}}$作商可知数列{a_2n-1}、{a_2n}是首项分别为2、$\frac{1}{6}$，公比均为$\frac{1}{3}$的等比数列，进而分别计算出$\underset{lim}{n→∞}$（a₁+a₂）+（a₂+a₃）+（a₃+a₄）+…+（a_2n-1+a_2n）与$\underset{lim}{n→∞}$（a₁+a₂）+（a₂+a₃）+（a₃+a₄）+…+（a_2n-1+a_2n）+（a_2n+a_2n+1）的值即得结论．

解答 解：依题意，由韦达定理可知：a_n+a_n+1=c_n，a_n•a_n+1=$\frac{1}{{3}^{n}}$，
又∵a_n+1•a_n+2=$\frac{1}{{3}^{n+1}}$，
∴$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n+1}•{a}_{n+2}}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{3}$，
又∵a₁=2，a₂=$\frac{1}{3{a}_{1}}$=$\frac{1}{6}$，
∴数列{a_2n-1}、{a_2n}是首项分别为2、$\frac{1}{6}$，公比均为$\frac{1}{3}$的等比数列，
又∵$\underset{lim}{n→∞}$a_n=0，
∴$\underset{lim}{n→∞}$（a₁+a₂）+（a₂+a₃）+（a₃+a₄）+…+（a_2n-1+a_2n）
=2$\underset{lim}{n→∞}$（a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1）+2$\underset{lim}{n→∞}$（a₂+a₄+a₆+…+a_2n）-$\underset{lim}{n→∞}$（a_2n+a₁）
=2$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{2（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$+2$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{\frac{1}{6}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\underset{lim}{n→∞}$（a_2n+2）
=2$\underset{lim}{n→∞}$3（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）+2$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）-$\underset{lim}{n→∞}$（a_2n+2）
=6+$\frac{1}{2}$-2
=$\frac{9}{2}$，
同理可得$\underset{lim}{n→∞}$（a₁+a₂）+（a₂+a₃）+（a₃+a₄）+…+（a_2n-1+a_2n）+（a_2n+a_2n+1）=$\frac{9}{2}$，
综上所述，所求值为$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．