Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面为等边三角形且侧棱与底面垂直，E是棱BB₁上的点，AB=AA₁，且平面A₁EC⊥平面AA₁C₁C．
（Ⅰ）证明：E为BB₁的中点；
（Ⅱ）求平面A₁EC与平面A₁B₁C₁所成二面角的正弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）以A₁为原点，A₁C₁为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明E为BB₁的中点．
（2）求出平面A₁EC的法向量和平面A₁B₁C₁的法向量，利用向量法能求出平面A₁EC与平面A₁B₁C₁所成二面角的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：以A₁为原点，A₁C₁为y轴，AA₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
底面为等边三角形且侧棱与底面垂直，
E是棱BB₁上的点，AB=AA₁，
∴平面AA₁C₁C的法向量

n

=（1，0，0），
设AB=AA₁=2，A₁（0，0，0），C（0，2，2），
设B₁E=λ，E（

3

，1，λ），

A1E

=(

3

，1，λ)，

A1C

=（0，2，2），
设平面A₁EC的法向量

m

=（x，y，z），
则

m • A1E = 3 x+y+λz=0 m • A1C =2y+2z=0

，
取y=1，得

m

=（

λ-1

3

，1，-1），
∵平面A₁EC⊥平面AA₁C₁C，
∴

m

•

n

=

λ-1

3

=0，
∴B₁E=1，∴E为BB₁的中点．
（2）解：由（1）得平面A₁EC的法向量

m

=（0，1，-1），
又平面A₁B₁C₁的法向量

p

=（0，0，1），
设平面A₁EC与平面A₁B₁C₁所成二面角的平面角为θ，
cosθ=|cos＜

m

，

p

＞|=|

-1

2

|=

2

2

，
∴sinθ=

1-( 2 2 )2

=

2

2

，
∴平面A₁EC与平面A₁B₁C₁所成二面角的正弦值为

2

2

．

点评：本题考查点为线段中点的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．