Question

3．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F₁（-2，0），点$B（{2，\;\;\sqrt{2}}）$在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线y=kx（k≠0）与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N．
求证：以MN为直径的圆必过椭圆的两焦点．

Answer 1

分析 （1）由题意可设椭圆标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;\;（a＞b＞0）$，结合已知及隐含条件列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a²，b²的值，则椭圆方程可求；
（2）设F（x₀，y₀），E（-x₀，-y₀），写出AE、AF所在直线方程，求出M、N的坐标，得到以MN为直径的圆的方程，由圆的方程可知以MN为直径的圆经过定点（±2，0）．

解答 （1）解：（1）由题意可设椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;\;（a＞b＞0）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{2}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得：a²=8，b²=4．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）证明：如图，设F（x₀，y₀），E（-x₀，-y₀），
则$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{8}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$=1，即有y₀²=$\frac{1}{2}$（8-x₀²），
A（-2$\sqrt{2}$，0），
AF所在直线方程y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2\sqrt{2}}$（x+2$\sqrt{2}$），
取x=0，得y=$\frac{2\sqrt{2}{y}_{0}}{{x}_{0}+2\sqrt{2}}$，
∴N（0，$\frac{2\sqrt{2}{y}_{0}}{{x}_{0}+2\sqrt{2}}$），
AE所在直线方程为y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2\sqrt{2}}$（x+2$\sqrt{2}$），
取x=0，得y=$\frac{2\sqrt{2}{y}_{0}}{{x}_{0}-2\sqrt{2}}$，
∴M（0，$\frac{2\sqrt{2}{y}_{0}}{{x}_{0}-2\sqrt{2}}$），
则以MN为直径的圆的圆心坐标为（0，$\frac{-2\sqrt{2}{x}_{0}{y}_{0}}{8-{{x}_{0}}^{2}}$），
半径r=$\frac{8{y}_{0}}{8-{{x}_{0}}^{2}}$，
圆的方程为x²+（y-$\frac{-2\sqrt{2}{x}_{0}{y}_{0}}{8-{{x}_{0}}^{2}}$）²=$\frac{64{{y}_{0}}^{2}}{（8-{{x}_{0}}^{2}）^{2}}$=$\frac{16}{{{y}_{0}}^{2}}$，
即x²+（y+$\frac{\sqrt{2}{x}_{0}}{{y}_{0}}$）²=$\frac{16}{{{y}_{0}}^{2}}$，
取y=0，得x=±2．
∴以MN为直径的圆经过定点（±2，0），即为椭圆的焦点．

点评 本题考查椭圆的方程和简单性质，考查圆的方程的求法及应用，考查化简整理的运算能力，是中档题．