Question

13．从某地区一次中学生知识竞赛中，随机抽取了30名学生的成绩，绘成如图所示的2×2列联表：

	优秀	一般	合计
男生	7	6
女生	5	12
合计

（1）试问有没有90%的把握认为优秀一般与性别有关；
（2）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机抽取3人，用ξ表示所选3人中优秀的人数，试写出ξ的分布列，并求出ξ的数学期望，.${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{a+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$，其中n=a+b+c+d
独立性检验临界表：

P（K2≥k）	0.100	0.050	0.010	0.001
k	2.706	3.841	6.635	10.828

Answer 1

分析 （1）根据题意，填写2×2列联表，根据观测值K²，对照数表得出结论；
（2）求出抽取1名学生是甲组学生的概率值，得出ξ服从二项分布B（3，$\frac{2}{5}$）；
计算对应概率值，写出ξ的分布列，计算数学期望Eξ．

解答 解：（1）填写2×2列联表，如下：

	甲组	乙组	合计
男生	7	6	13
女生	5	12	17
合计	12	18	30

由列联表数据代入公式得K²=$\frac{{30×（7×12-6×5）}^{2}}{13×17×12×18}$≈1.83，
因为1.83＜2.706，故没有90%的把握认为成绩分在甲组或乙组与性别有关；
（2））由题知，抽取的30名学生中有12名学生是甲组学生，
抽取1名学生是甲组学生的概率为$\frac{12}{30}$=$\frac{2}{5}$，
那么从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是$\frac{2}{5}$，
又因为所取总体数量较多，抽取3名学生可以看出3次独立重复实验，
于是ξ服从二项分布B（3，$\frac{2}{5}$）；
显然ξ的取值为0，1，2，3；
且P（ξ=k）=${C}_{3}^{k}$•${（\frac{2}{5}）}^{k}$•${（1-\frac{2}{5}）}^{3-k}$，k=0，1，2，3；
所以得ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

数学期望Eξ=3×$\frac{2}{5}$=$\frac{6}{5}$．

点评 本题考查了独立性检验与n次独立重复实验的概率分布列、数学期望的计算问题，是基础题．