题目内容
5．若定义在区间D上的函数f（x）对于D上任意n个值x1，x2，…xn总满足$\frac{1}{n}$[f（x1）+f（x2）+…+f（xn）]≤f（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}+…{+x}_{n}}{n}$），则称f（x）为D的凸函数，现已知f（x）=sinx在（0，π）上是凸函数，则三角形ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为（ ）| A． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | B． | 3$\sqrt{2}$ | C． | $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ | D． | 3 |
分析 由凸函数的性质可得：sinA+sinB+sinC≤3$sin\frac{A+B+C}{3}$，即可得出．
解答 解：由凸函数的性质可得：sinA+sinB+sinC≤3$sin\frac{A+B+C}{3}$=$3sin\frac{π}{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，当且仅当A=B=C=$\frac{π}{3}$时取等号．
∴sinA+sinB+sinC的最大值为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
故选：C．
点评 本题考查了凸函数的性质、三角形内角和定理、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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18．随着杜会的发展，大多数家庭的经济状况不断提高，可是膏少年的身体健康指标却每况愈下，该观象备受杜会人士的关注，某一网站线上调查结果显示，青少年身体健康不达标的主要原因有以下三项：“饮食不规律造成营养不均衡”，“学业任务繁重”，“缺乏锻炼”，据统计，60名学生参加调查的情况如下表所示：
（1）现从这60名学生中按照参加调查的项数分层抽取6名学生进行了解情况，医疗部分决定在这已抽取的6名学生中随机抽取2名进行体检，记这2名学生中参加调查的项数为3的学生人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
（2）医疗部分对部分学生一周内进行体育锻炼的时间x（单位：小时）和身体健康指标y进行了一定的统计分析，得到如下数据
由表中数据，求得线性回归方程为y=0.8x+a，若某学生一周内进行体育锻炼的时间x=12，求该学生的身体健康指标值．
| 参加调查的项数 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 所占比例 | $\frac{1}{6}$ | P | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{3}$ |
（2）医疗部分对部分学生一周内进行体育锻炼的时间x（单位：小时）和身体健康指标y进行了一定的统计分析，得到如下数据
| 一周内进行体育锻炼的时间 | 4 | 6 | 8 | 10 |
| 身体健康指标 | 3 | 5 | 6 | 8 |
16．若函数f（x）=2x-3，则f-1（5）=（ ）
| A． | 4 | B． | 5 | C． | 6 | D． | 7 |
20．在下列各组函数中，两个函数相等的是（ ）
| A． | f（x）=$\root{3}{x^3}$与g（x）=$\root{4}{x^4}$ | |
| B． | f（x）=$\sqrt{{x^2}-1}$与g（x）=$\sqrt{x-1}•\sqrt{x+1}$ | |
| C． | f（x）=2x，x∈{0，1，2，3}与g（x）=$\frac{x^3}{6}+\frac{5}{6}x+1，x∈\left\{{0，1，2，3}\right\}$ | |
| D． | f（x）=|x|与g（x）=$\left\{\begin{array}{l}x，x≥0\\-x，x＜0\end{array}$ |
