Question

20．已知f（x）为偶函数，且f（-1-x）=f（1-x），当x∈[0，1]时，f（x）=-x+1，求x∈[5，7]时，f（x）的解析式．

Answer 1

分析 根据偶函数的性质以及f（-1-x）=f（1-x），求出函数的周期，利用函数的周期性、奇偶性，分别求出x∈[5，7]时f（x）的解析式．

解答 解：因为f（x）为偶函数，且f（-1-x）=f（1-x），
所以f（1+x）=f（1-x），即f（x+2）=f（-x）=f（x），
则f（x）的周期是T=2，
设x∈[6，7]，则x-6∈[0，1]，
因为当x∈[0，1]时，f（x）=-x+1，
所以f（x-6）=-（x-6）+1=-x+7，则f（x）=-x+7，
设x∈[5，6），则x-6∈[-1，0），即-（x-6）∈（0，1]，
因为当x∈[0，1]时，f（x）=-x+1，
所以f[-（x-6）]=（x-6）+1=x-5，
则f（x）=f（x-6）=f[-（x-6）]=x-5，
所以f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-5，x∈[5，6）}\\{-x+7，x∈[6，7]}\end{array}\right.$．

点评 本题考查函数的奇偶性和周期性的综合应用，以及分类讨论思想，属于中档题．