Question

2．在正四面体P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（　　）

• A． BC∥平面PDF
• B． DF⊥平面PAE
• C． 平面PDE⊥平面ABC
• D． 平面PDF⊥平面PAE

Answer 1

分析 由DF∥BC，能证明BC∥平面PDF；由已知推导出AE⊥BC，PE⊥BC，从而BC⊥平面PAE，进而DF⊥平面PAE；由已知得平面PAE⊥平面ABC，从而平面PDE与平面ABC不垂直；由DF⊥平面PAE，推导出平面PDF⊥平面PAE．

解答 解：∵在正四面体P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
∴DF∥BC，
∵DF?平面PDF，BC?平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A正确；
∵AB=AB=PB=PC，E是BC中点，
∴AE⊥BC，PE⊥BC，
∵AE∩PE=E，∴BC⊥平面PAE，
∵DF∥BC，∴DF⊥平面PAE，故B正确；
∵DF⊥平面PAE，DF?平面ABC，∴平面PAE⊥平面ABC，
∵平面PAE∩平面PDE=PE，且PE与平面ABC不垂直，
∴平面PDE与平面ABC不垂直，故C错误；
∵DF⊥平面PAE，且DF?平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAE，故D正确．
故选：C．

点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．