Question

已知函数为常数，e=2．71828…是自然对数的底数)，曲线在点处的切线与x轴平行．
(1)求k的值，并求的单调区间；
(2)设，其中为的导函数．证明：对任意．

Answer 1

(1) ，的单调递增区间是，单调递减区间是；(2)证明过程见试题解析．

试题分析：(1)利用在处的导数为0，可求k,进而再利用导函数求出的单调区间；(2)由（1）易证不等式在时成立，只需证时，又，易证最大值为,则对任意．
(1)，
由已知，，∴．
由,
设，则，即在上是减函数，
由知，当时，从而，
当时，从而．
综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是．
(2)由(1)可知，当时，≤0＜1+，故只需证明在时成立，
当时，＞1，且，∴，
设，，则，
当时，，当时，，
所以当时，取得最大值，
所以，
综上，对任意