Question

【题目】已知直线与曲线恰有两个不同的交点，记的所有可能取值构成集合，是椭圆上一动点，点与点关于直线对称，记的所有可能取值构成集合，若随机从集合中分别抽出一个元素，则的概率是___．

Answer 1

【答案】

【解析】

试题由，当x≥0时，显然k＞0，两边平方得

，即

由题意，该方程有两个不相等的正实数根

即即结合k＞0解得k∈(0，1)，即A＝(0，1)

对于椭圆，由于原点关于y＝x＋1的对称点为(－1，1)

所以，椭圆关于y＝x＋1的对称椭圆为，

在改椭圆上，可知y1－1∈[－4，4]

于是∈[－1，1]，即B＝[－1，1]

【方法一】由，分别以为横坐标和纵坐标，

可知点()构成一个面积为2的矩形

其中满足的是图中阴影部分，面积为

所以，满足的概率是

【方法二】当时，此事件发生的概率为，此时必有

当时，此事件发生的概率为，此时与概率相等，各占，于是此时满足的概率为.

以上两事件互斥，且[－1，0]与(0，1]的区间长度相等，故满足的概率为.