Question

【题目】已知命题α：函数的定义域是R；命题β：在R上定义运算：xy=x（1-y）．不等式（x-a）（x+a）＜1对任意实数x都成立．

（1）若α、β中有且只有一个真命题，求实数a的取值范围；

（2）若α、β中至少有一个真命题，求实数a的取值范围；

（3）若α、β中至多有一个真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) （，0）∪[，4）；(2) （，4）；(3) （∞，0）∪[，+∞）

【解析】

分别求出命题α为真时和命题β为真时a的取值范围，再求：（1）若α为真、β为假时和α为假、β为真时对应a的取值范围，求并集即可；（2）求出α为假且β为假时a的取值范围，再求补集即可；（3）求出α为真且β为真时a的取值范围，再求补集即可．

函数的定义域是R，则ax2ax+1＞0恒成立，

a=0时，满足条件；

a≠0时，则，解得0＜a＜4；

所以命题α为真命题时，a∈[0，4）；

又在R上定义运算：xy=x（1y），

不等式（xa）（x+a）＜1可化为（xa）（1xa）＜1，

即x2xa2+a+1＞0对任意的x∈R都成立；

令△=14（a2+a+1）＜0，

解得＜a＜，

所以命题β为真时a的取值范围是a∈（，）．

（1）若α为真、β为假时，有，即≤a＜4；

若α为假、β为真时，有，即＜a＜0；

综上，实数a的取值范围是（，0）∪[，4）；

（2）若α为假且β为假时，有，即a≤或a≥4；

所以α、β中至少有一个真命题时，实数a的取值范围是（，4）；

（3）若α为真且β为真时，有，即0≤a＜；

所以α、β中至多有一个真命题时，实数a的取值范围是（∞，0）∪[，+∞）．