题目内容
【题目】已知函数.
(1)若函数有一个极小值点和一个极大值点,求
的取值范围;
(2)设,若存在
,使得当
时,
的值域是
,求
的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】试题分析:(1)求出函数的导数,由函数
有两个极值点,得到关于
的不等式组,求得实数
,再作出验算即可.
(2)求出的导数,通过讨论
的范围确定函数的单调区间,得到关于
的不等式,解出即可.
试题解析:
(1) ,则
令,若函数
有两个极值点,则方程
必有两个不等的正根,于是
解得
当时,
有两个不相等的正实根,设为
,不妨设
,
则.
当时,
在
上为减函数;
当时,
在
上为增函数;
当时,
函数
在
上为减函数.
由此, 是函数
的极小值点,
是函数
的极大值点.符合题意.
综上,所求实数的取值范围是
(2)
①当时,
.当
时,
在
上为减函数;
当时,
在
上为增函数.
所以,当时,
的值域是
.
不符合题意.
当时,
.
(i)当,即
时,
, 当且仅当
时取等号.
所以在
上为减函数.从而
在
上为减函数.符合题意
(ii)当,即
时,当
变化时,
的变化情况如下表:
1 | |||||
- | 0 | + | 0 | - | |
减函数 | 极小值0 | 增函数 | 极大值 | 减函数 |
若满足题意,只需满足,且
(若
,不符合题意),即
,
且.又
,所以
,此时
所以实数的取值范围是
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某公司为了解广告投入对销售收益的影响,在若干地区各投入万元广告费用,并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示).由于工作人员操作失误,横轴的数据丢失,但可以确定横轴是从
开始计数的. [附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.]
(1)根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度;
(2)试估计该公司投入万元广告费用之后,对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值);
(3)该公司按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到下表:
广告投入 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销售收益 | 2 | 3 | 2 | 7 |
由表中的数据显示, 与
之间存在着线性相关关系,请将(2)的结果填入空白栏,并求出
关于
的回归直线方程.