Question

【题目】已知椭圆过抛物线的焦点，，分别是椭圆的左、右焦点，且.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线与抛物线相切，且与椭圆交于，两点，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）1.

【解析】试题分析：（1）由已知，求出抛物线的焦点的坐标，可求得椭圆的值，分别求出向量，的坐标，由向量数量积的公式及，从而求椭圆的标准方程；（2）因为直线与抛物线相切，由切点可设直线方程为，再联立直线与椭圆方程，由弦长公式，求得的长，由点到直线的距离公式求得原点到的距离，列出面积的计算式子，从而求得面积的最大值.

试题解析：（1），又，.又，

椭圆的标准方程为.

（2）设直线与抛物线相切于点，则，即，

联立直线与椭圆，消去，整理得.

由，得.

设，则：.

则

原点到直线的距离.

故面积 ，

当且仅当，即取等号，

故面积的最大值为1.