题目内容

讨论函数f（x）=
axx2-1
（a＞0）在x∈（-1，1）上的单调性．
分析：根据函数单调性的定义讨论函数的单调性，是必须掌握的基本方法．
解答：解：设-1＜x1＜x2＜1，
则f（x1）-f（x2）=
ax1
x12-1
-
ax2
x22-1

=
ax1x22-ax1-ax2x12+ax2
(x12-1)(x22-1)
=
a(x2-x1)(x1x2+1)
(x12-1)(x22-1)
．
∵-1＜x1＜x2＜1，
∴x2-x1＞0，x1x2+1＞0，（x12-1）（x22-1）＞0．又a＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，
函数f（x）在（-1，1）上为减函数．
点评：证明函数单调性的步骤：1、取值：2、作差变形：变形的常用方法：因式分解、配方、有理化等；3、定号；4、下结论：由定义得出函数的单调性．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=x3+ax2+x+1，a∈R．
（1）若函数f（x）在x=-1处取得极值，求a的值；
（2）在满足（1）的条件下，求函数f（x）在[-2，0]上的最值及相应自变量x的值；
（3）讨论函数f（x）的单调区间．
若函数y=f（x）在区间[a，b]上是连续的、单调的函数，且满足f（a）•f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间[a，b]上有唯一的零点”．对于函数f（x）=-x3+x2+x+m，
（1）当m=0时，讨论函数f（x）=-x3+x2+x+m在定义域内的单调性并求出极值；
（2）若函数f（x）=-x3+x2+x+m有三个零点，求实数m的取值范围．
设函数f(x)=
1
3
ax3-
1
2
x2+bx+1(a，b∈R)，且函数f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴．
（Ⅰ）试用a表示b；
（Ⅱ）当a＜
1
2
时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）证明：当a=-3时，对?x1，x2∈[1，2]，都有|f(x1)-f(x2)|≤
9
2
．
（2012•钟祥市模拟）已知函数f（x）=lnx-ax2+（a-2）x．
（I）讨论函数f（x）的单调性；
（II）若f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为-2．
（i）求f（x）的解析式；
（ii）求证：当x＞0且x≠1时，
f(x)
x+1
+x+
1
x
＞
lnx
x-1
．
已知函数f（x）=lnx-ax2+（a-2）x．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x=1垂直，求实数a的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．

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