Question

已知函数f（x）=lnx-ax²+（a-2）x．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x=1垂直，求实数a的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求导函数，然后根据曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x=1垂直则f′（1）=0，从而可求出a的值；
（Ⅱ）确定函数的定义域，求导函数，利用导数的正负，分类讨论，即可求得函数f（x）的单调性．

解答：解：（Ⅰ） f′(x)=

1

x

-2ax+a-2=

-(2x-1)(ax+1)

x

，
∵曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x=1垂直，
∴f'（1）=-（a+1）=0，
解得：a=-1；
（Ⅱ）由题意可得，f（x）定义域为（0，+∞）
（I）对函数求导可得，f′(x)=

1

x

-2ax+a-2=

-(2x-1)(ax+1)

x

，
①a≥0时，ax+1＞0，x＞0
由f′（x）＞0可得，x∈（0，

1

2

），由f′（x）＜0可得x∈（

1

2

，+∞），
∴f（x）在（0，

1

2

）单调递增，在（

1

2

，+∞）单调递减，
②a＜0时，令f′（x）=0可得x₁=

1

2

或x₂=

1

a

，
（i）当-2＜a＜0时-

1

a

＞

1

2

，
由f′（x）＜0可得x∈（

1

2

，-

1

a

），由f′（x）＞0可得x∈（0，

1

2

），
故f（x）在（

1

2

，-

1

a

）单调递减，在（0，

1

2

），（-

1

a

，+∞）上单调递增，
（ii）当a＜-2时，同理可得f（x）在（-

1

a

，

1

2

）单调递减，在（0，-

1

a

），（

1

2

，+∞）单调递增，
（iii）当a=-2时，f′（x）=

(2x-1)2

x

≥0，
∴f（x）在（0，+∞）单调递增．

点评：本题考查导数的几何意义，考查函数的单调区间，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．