Question

（2012•钟祥市模拟）已知函数f（x）=lnx-ax²+（a-2）x．
（I）讨论函数f（x）的单调性；
（II）若f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为-2．
（i）求f（x）的解析式；
（ii）求证：当x＞0且x≠1时，

f(x)

x+1

+x+

1

x

＞

lnx

x-1

．

Answer 1

分析：由题意可得，f（x）定义域为（0，+∞）
（I）对函数求导可得，f′(x)=

1

x

-2ax+a-2=

-2ax2+(a-2)x+1

x

=

-(2x-1)(ax+1)

x

，要讨论函数的单调性，只要讨论a的范围判断f′（x）的符号
（II）（i）由（I）知f′（x）=-（a+1）=-2可求a，从而可求f（x）
（ii）由于

f(x)

x+1

+x+

1

x

-

lnx

x-1

=

1

x2-1

(x-

1

x

-2lnx)，令g(x)=x-

1

x

-2lnx(x＞0，x≠1)对函数g（x）求导可得g（x）在（0，1）单调递增，，g（x）在（1，+∞）单调递增，g（x）＞g（1）=0，可证

解答：解：由题意可得，f（x）定义域为（0，+∞）
（I）对函数求导可得，f′(x)=

1

x

-2ax+a-2=

-2ax2+(a-2)x+1

x

=

-(2x-1)(ax+1)

x

①a≥0时，ax+1＞0，x＞0
由f′（x）＞0可得，x∈(0，

1

2

)，由f′（x）＜0可得x∈(

1

2

，+∞)
∴f（x）在（0，

1

2

）单调递增，在（

1

2

，+∞）单调递减
②a＜0时，令f′（x）=0可得x₁=

1

2

或x2=

1

a

（i）当-2＜a＜0时-

1

a

＞

1

2

由f′（x）＜0可得x∈(

1

2

，-

1

a

)，由f′（x）＞0可得x∈(0，

1

2

)∪(-

1

a

，+∞)
故f（x）在(

1

2

，-

1

a

)单调递减，在（0，

1

2

），(-

1

a

，+∞)单调递增
（ii）当a＜-2时，同理可得f（x）在（-

1

a

，

1

2

）单调递减，在（0，-

1

a

），(

1

2

，+∞)单调递增
（iii）当a=-2时，f′(x)=

(2x-1)2

x

≥0
∴f（x）在（0，+∞）增…..（6分）
（II）（i）解：由（I）知）知f′（x）=-（a+1）=-2
∴a=1
∴f（x）=lnx-x²-x…．（8分）
（ii）证明：

f(x)

x+1

+x+

1

x

-

lnx

x-1

=

lnx-x2-x

x+1

+x+

1

x

-

lnx

x-1

=

lnx

x+1

-

lnx

x-1

+

1

x

=

1

x

-

2lnx

x2-1

=

1

x2-1

(

x2-1

x

-2lnx)=

1

x2-1

(x-

1

x

-2lnx)
令g(x)=x-

1

x

-2lnx(x＞0，x≠1)g′(x)=1+

1

x2

-

2

x

=

x2-2x+1

x2

=

(x-1)2

x2

故当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）在（0，1）单调递增，
∴g（x）＜g（1）=0，又

1

x2-1

＜0
∴

1

x2-1

g(x)＞0
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）单调递增，g（x）＞g（1）=0
又

1

x2-1

＞0，
∴

1

x2-1

g(x)＞0
综上所述，x＞0且x≠0时，

f(x)

x+1

+x+

1

x

＞

lnx

x-1

…（14分）

点评：本题主要考查了利用函数的导数判断函数的单调性，导数的几何意义在切线的求解中的应用，及利用导数证明不等式中的应用，属于中档试题