题目内容
已知函数f（x）=x3+ax2+x+1，a∈R．（1）若函数f（x）在x=-1处取得极值，求a的值；
（2）在满足（1）的条件下，求函数f（x）在[-2，0]上的最值及相应自变量x的值；
（3）讨论函数f（x）的单调区间．
分析：（1）先对函数f（x）进行求导，然后根据f'（-1）=0可求a的值．
（2）将（1）中a的值代入确定函数f（x）的解析式后求导数，然后根据导函数的正负情况判断函数的单调性和极值点，进而可求出在[-2，0]上的最值及相应自变量x的值．
（3）对函数f（x）进行求导得到f'（x）=3x2+2ax+1为二次函数，当△≤0时，f'（x）≥0，所以函数f（x）在R上是增函数；当△＞0时，求出两根，然后求出对应的f'（x）＞0和f'（x）＜0的x的范围即可得到原函数单调增减区间．
（2）将（1）中a的值代入确定函数f（x）的解析式后求导数，然后根据导函数的正负情况判断函数的单调性和极值点，进而可求出在[-2，0]上的最值及相应自变量x的值．
（3）对函数f（x）进行求导得到f'（x）=3x2+2ax+1为二次函数，当△≤0时，f'（x）≥0，所以函数f（x）在R上是增函数；当△＞0时，求出两根，然后求出对应的f'（x）＞0和f'（x）＜0的x的范围即可得到原函数单调增减区间．
解答：解：（1）f'（x）=3x2+2ax+1
因为函数f（x）在x=-1处取得极值所以f'（-1）=0
解得a=2
（2）由（1）知f（x）=x3+2x2+x+1，f'（x）=3x2+4x+1
令f'（x）=3x2+4x+1=0解得x=-1，x=-
从上表可以看出f(x)极小值=
＞0，f（x）极大值=1＞0，
所以函数f（x）有零点且只有一个5
又函数f（x）在[-2，-1]上连续，且f（-1）=1＞0，f（-2）=-1＜0，所以函数f（x）的零点介于-2和-1之间．7
（3）f'（x）=3x2+2ax+1，△=4a2-12=4（a2-3）
当a2≤3，即-
＜a＜
时，△≤0，f'（x）≥0，所以函数f（x）在R上是增函数
当a2＞3，即a＞
或a＜-
时，△＞0，
解f'（x）=0得两根为x1=
，x2=
（显然x1＜x2）
当x∈（-∞，x1）时f'（x）＞0；x∈（x1，x2）时f'（x）＜0；x∈（x2，+∞）时f'（x）＞0
所以函数f（x）在(-∞，
)，(
，+∞)上是增函数；
在(
，
)上是减函数14
综上：当-
＜a＜
时，函数f（x）在R上是增函数；
当a＞
或a＜-
时，函数f（x）在(-∞，
)，(
，+∞)上是增函数；在(
，
)上是减函数
因为函数f（x）在x=-1处取得极值所以f'（-1）=0
解得a=2
（2）由（1）知f（x）=x3+2x2+x+1，f'（x）=3x2+4x+1
令f'（x）=3x2+4x+1=0解得x=-1，x=-
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从上表可以看出f(x)极小值=
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所以函数f（x）有零点且只有一个5
又函数f（x）在[-2，-1]上连续，且f（-1）=1＞0，f（-2）=-1＜0，所以函数f（x）的零点介于-2和-1之间．7
（3）f'（x）=3x2+2ax+1，△=4a2-12=4（a2-3）
当a2≤3，即-
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| 3 |
当a2＞3，即a＞
| 3 |
| 3 |
解f'（x）=0得两根为x1=
-a-
| ||
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-a+
| ||
| 3 |
当x∈（-∞，x1）时f'（x）＞0；x∈（x1，x2）时f'（x）＜0；x∈（x2，+∞）时f'（x）＞0
所以函数f（x）在(-∞，
-a-
| ||
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-a+
| ||
| 3 |
在(
-a-
| ||
| 3 |
-a+
| ||
| 3 |
综上：当-
| 3 |
| 3 |
当a＞
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-a-
| ||
| 3 |
-a+
| ||
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-a-
| ||
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-a+
| ||
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点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系．属基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
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